Подтверждение требований к интенсивности отказов или среднему времени безотказной работы при комплексных испытаниях

Пусть система состоит из к последовательно соединенных блоков, каж­дый из которых может испытываться как в комплексе с системой, так и автономно. Требования к интенсивности отказов сформулированы для системы в целом. Необходимо сформировать правило подтверж­дения требований к интенсивности отказов блоков, обеспечивающее подгвержцение требований к системе в целом. Формирование пра­вил подтверждения требований к блокам без учета статистических свойств оценок показателей надежности состоит в распределении тре­бований к системе между отдельными блоками и автономном незави­симом подтверждении требований к блокам.

Так, если заданное значение интенсивности отказов системы Х3 = 0,1 ч-1 и система состоит из 10 равнонадежных блоков, то в соответствии с таким подходом требуемые значения интенсивности отказов блоков составят Х3/ = 0,01 ч-1, а система будет считаться удов­летворяющей заданным требованиям, если выполняется условие

‘l min > Xl-a (v)l2X3i = 5°Xl-a

т. е. при a = 0,05, ц = 2г = 4 суммарная наработка блока должна превышать 667,5 ч.

Учет статистических свойств оценок показателей надежности су­щественно изменяет полученный результат.

Для планов типа [NM(U)r случайная величина ц. = 2Х//1/ имеет

X2-распределение с числом степеней свободы і). =2/}, а случайная

*

величина 2^ X./£|- в соответствии со свойствами у}-распределения

/=1 к

будет иметь ^-распределение с числом степеней свободы V = ХЧ’*

Таким образом, можно записать: 7=1

X(i_y)/2 (у) * 2Х Vi/ ~X(i+y)/2 0>).

/=1

откуда, заменяя на *Imax из Значений /£/, получим выра­жение для 7%-ного доверительного интервала суммарной интенсив­ности отказов:

" * о/ 9/

/=1 ^*Imax ^Imin

к

Для планов типа [JVM(£/)7] случайные величины rt и £/;• имеют

/=1

к

распределение Пуассона с параметрами соответственно и £ Vi/-

/=1

Используя аппроксимацию распределения Пуассона ^-распре­делением, можно записать:

откуда, заменяя на /Imin, /1тах из значений /г/, получим выра­жение для у%-ного доверительного интервала суммарной интенсив­ности отказов:

Z(l-Y)/2	r m > 21 r, ‘=1____	X(l-Y)/2 A	( m 2l/;+2 »=1 J
2/v “ 2tf ■ ‘l max I mm

Исходя из выражений для доверительных границ суммарной ин­тенсивности отказов системы получим следующее условие приемки системы:

‘zmin >Хі-а(у)/(2лз).

к к

где для планов [NM( U)r] u = 2^/-, а для планов [NM( U)N х> = 2^ rt + 2.

/=1 /=1

Так как xj-a Со) оказывается всегда меньше пЩ-а (ьі)» то необ­ходимая суммарная наработка при комплексном подходе, основан­ном на использовании требований к суммарной интенсивности, су­щественно ниже, чем при автономном подходе. Особенно большой эффект достигается при испытаниях высоконадежных блоков и ма­лом числе наблюдаемых отказов. Пусть отказы г{- = 2 наблюдались лишь в одном из блоков, по другим блокам отказов не было, тогда

требования к суммарной наработке блоков составят ґІтіп > 66,75 ч, т. е. в 10 раз меньше значения, полученного при автономном подходе.

Сравнение планов с заменой и без замены отказавших образцов. Сум­марная наработка при использовании планов с заменой отказавших образцов всегда больше, чем без замены. Действительно, для плана [NUr] имеем:

£ /, + (л — г) tr < rtr + (л — r)tr = ntr.

/=1

Аналогично для плана [NUT] получим:

г

]£// +(л-г)7’ < rtr+(n-r)T = пТ — г(Т — tr)^nT.

/=і

Однако планы с заменой требуют большего объема испытывае­мых образцов: (п + г) вместо п. Если на испытания без замены поста­вить (п + г) образцов, то суммарная наработка в этом случае будет больше, чем у плана с заменой объема п. Действительно:

г г

£//+[«-#■-!■]/> =Л/Г+Хгі >ntr.

»=1 І=1

Аналогично

+ [n-r-r]T — пТ + >пТ.

/=1

Таким образом, для планов с фиксированным числом отказов, когда значение г известно заранее, нецелесообразно использовать замену отказавших образцов.

Сравнение планов с заданным числом отказов и заданным време­нем испытаний. Планы с заданным временем испытаний предъявля­ют более жесткие требования к величине суммарной наработки:

<1 > Xl-a (и)/(2^з).

так как число степеней свободы v = 2r + 2 у них больше, чем у пла­нов с фиксированным числом отказов г> = 2г. В табл. 13.4 приведены значения квантилей %2- распределения для а = 0,05 и г> = 2г + 2, г> = 2г при различном числе отказов г.

Таблица 13.4

Значения хІ-а (2г + 2), %t-a (2г) Щ* различном числе отказов г Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Xl-a (2г) 5,99 9,49 12,59 15,51 18,31 21,03 23,67 26,3 28,87 31,41 xla (2г + 2) 9,49 12,59 15,51 18,31 21,03 23,68 26,3 28,87 31,41 33,92

Однако планы с фиксированным временем испытаний позволя­ют, в отличие от планов с фиксированным числом отказов, произ­водить подтверждение требований при отсутствии отказов (г = 0), что делает их удобными для высоконадежных изделий. В этом случае легко рассчитывать необходимое число образцов для испытаний:

п > Хл-а {Г)К2КГУ

Так, при а = 0,05 Xj = 0,1, Т = 10 ч, п £ 3.

Сравнение продолжительности испытаний. При использовании плана [NUr| продолжительность испытаний tr определяется г-й по­рядковой статистикой в выборке /j,…, tr. Вероятность того, что ис­пытания продлятся дольше заданного времени Т0, определяется со­отношением

, В„(п-г + 1,2)

P{tr>l’о = -4т—— ГГГ = *і? з. ‘•-1)’

кг и/ В (п-г+ 1,2) ,v 3 ‘

где Вр, В — неполная и полная бета-функции; В( — интегральная

функция бета-распределения; Р = е~^Т°. Задаваясь значением этой

вероятности, можно при фиксированных п, г определить время Tq или при фиксированном времени Г0 — сочетания п, г.

При использовании плана [NMr] случайная величина т = tr • 2л/7^р имеет у}- распределение с 2г числом степеней свободы. Следова­тельно, вероятность того, что испытание продлится дольше заданно­го времени Г0, определится соотношением

*4 II і?	fr„ 2 (2r)Tip) 2 n *4 2 n
	К У
To или	xli(2r)/(2n) = X3T0.

Задаваясь значением Х3Г0 = — In и вероятностью у, можно оп­ределить необходимые сочетания пи г.

В табл. 13.5 приведены результаты расчетов комбинаций п и г при заданном значении вероятности R3 для планов [NUr] и [NMr], обеспечивающих с вероятностью у время испытаний, меньшее Г0.

План	r	У= 0,9	y= 0,95
Л,=0,9	0,95	0,99	0,9	0,95	0,99
	1	1	2	11	1	1	6
NUr	2	6	11	55	4	8	36
	3	12	23	120	9	17	100
	1	1	2	11	1	1	6
NMr	2	5	11	54	4	7	36
	3	11	22	111	8	i6	82

Число испытаний п изделий для различных у, Л,, и планов испытаний [NUr] и [MNr]

Таблица 13.5 г

13.6. Подтверждение требований к вероятности безотказной работы

При подтверждении требований к вероятности безотказной работы может быть использована одна из трех нулевых гипотез:

1) R<R3, 2) R>R3, 3) R = R3

соответственно при альтернативных гипотезах R > R3, R < R3, R * R3.

Решающими правилами, соответственно, являются:

!) My)^; 2) ^b(y)^^; 3) лн(у)<лэ<л3(у),

где (у), Лв (у) — у%-ные доверительные границы (односторонние или двусторонние).

Отметим, что двусторонние доверительные границы в этом слу­чае не являются симметричными и находятся по статистическим таб­лицам из условия получения наикратчайшего доверительного интер­вала. На практике наиболее часто используются односторонние решающие правила. При этом выражения доверительных границ по­лучаются из (13.1) при Yj = 1 или у2 = 1. В табл. 13.6 и 13.8 приведе­ны критические значения п^, п2 при числе наблюдаемых отказов d = О и rf=l и различной доверительной вероятности у для 1-й и 2-й нуле­вых гипотез.

Таблица 13.6 Число испытаний Л|, необходимых для принятия гипотезы R > при различных значениях вероятности безотказной работы с различной доверительной вероятностью Лз Число испытаний Л| при у, равном 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 d= 0 0,95 3 5 7 10 14 18 24 31 45 58 0,99 10 22 35 51 69 92 120 160 229 298 0,995 21 44 70 101 138 183 241 321 460 598 0,999 115 242 387 556 693 916 1024 1609 2303 2996 0,9999 458 969 1549 2218 6932 9163 12040 16094 23026 29965 rf= І 0,95 11 17 23 28 34 40 49 59 77 93 0,99 55 96 116 140 168 202 244 299 388 473 0,995 120 194 233 280 336 404 488 598 777 947 0,999 600 953 1143 1373 1647 2022 2439 2994 3889 4742 0,9999 6235 9549 11457 13752 16784 20223 24392 29942 38896 47437

СТ t-л оо

Значения вероятности J? j, необходимые для реализации числа испытаний из табл. 13.6 *3 Значение вероятности при у, равном 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,95 </=0 0,95 0,983 0,989 0,992 0,994 0,996 0,997 0,9978 0,0088 0,9988 0,9991 0,99 0,994 0,9976 0,9985 0,9989 0,9992 0,9994 0,9995 0,9996 0,9997 0,9998 0,995 0,997 0,9988 0,9992 0,9995 0,9996 0,9997 0,99978 0,9998 0,99988 0,9999 0,999 0,9995 0,9997 0,99978 0,9999 0,99992 0,99994 0,99995 0,99997 0,999978 0,99998 0,9999 0,9998 0,9999 0,99996 0,99997 0,99999 0,999994 0,999996 0,999997 0,999998 0,999998 d= 1 0,95 0,966 0,978 0,984 0,987 0,989 0,991 0,992 0,994 0,995 0,996 0,99 0,993 0,996 0,9965 0,997 0,9978 0,998 0,9985 0,9988 0,9991 0,9992 0,995 0,997 0,998 0,9985 0,9988 0,9989 0,9991 0,9992 0,9994 0,9995 0,9996 0,999 0,9997 0,9996 0,99975 0,9997 0,99978 0,9998 0,99935 0,99988 0,99991 0,99992 0,9999 0,99993 0,99996 0,999965 0,99997 0,999978 0,99998 0,999985 0,999988 0,999991 0,999992

 

Если при данном числе отказов п > пу, то принимается альтерна­тивная гипотеза R > Л3, при п < п2 принимается гипотеза R < R3. Точность статистического решения в данном случае характеризуется величинами: при проверке 1-й гипотезы — (Rl — /у; 2-й гипотезы — (Лз — R2), где Ry, R2 определяются при заданной ошибке второго рода по формулам

л!

X г{п-г)

г=О

при подстановке в них числа испытаний пх, п2, определенных из условий RH(y) = R3 или RB(y) = R3. В табл. 13.7 и 13.9 приведены значения Ry при d = 0 и R2 при d= 1, Р = 0,05 и различной довери­тельной вероятности.